带电粒子在电场中运动的轨迹与受力分析

1.做曲线运动的粒子所受合外力方向（加速度方向）指向曲线（运动轨迹）凹侧；

2.粒子的速度方向（运动方向）沿运动轨迹的切线方向；

3.利用粒子在电场中的运动轨迹来判定粒子电性（或者判定电场线的方向、电场力做功情况、电势能的变化、动能的变化），具体分析步骤如下：

首先根据带电粒子在电场中的运动轨迹，作出该带电粒子在电场中某一点所受合力方向和速度方向，

根据带电粒子在电场中某一点所受合力方向，根据题目要求判断出电场线（场强）方向、粒子受力方向及电性关系；

（在电场中，正电荷受到的电场力方向和电场强度方向相同，负电荷受到的电场力方向和电场强度方向相反。）

根据电场线的分布情况，由牛顿第二定律判出粒子加速度、速度的变化情况；

（在电场中，电场线（或等势线）的疏密表示电场强度的强弱，电场线（或等势线）越密的地方电场强度越大，即同一个带电粒子在电场线（或等势线）越密的地方加速度越大，反之越小。）

根据功能关系或者能量的转化与守恒定律求出粒子的能量变化情况。

①带电粒子在电场中做曲线运动时正负功的判断：

电场力与速度方向间夹角小于90度，电场力做正功；夹角大于90度，电场力做负功。

②电势能大小的比较方法：

做功判断法

电场力做正功时电势能减小，动能增加；电场力做负功时电势能增大，动能减小。(对正、负电荷都适用)

依据电势高低判断（这种方法不用判断电场力做正负功，直接就可以用）

正电荷在电势高处具有的电势能大，负电荷在电势低处具有的电势能大

③比较电势高低的方法：

沿电场线方向，电势越来越低。（知道电场线方向）

判断出电势差UAB的正负，再由UAB=φA-φB，比较φA-φB的大小，若UAB>0，则φA>φB，若UAB<0，则φA<φB.

④功能关系：（建议熟记）

若只有电场力做功：电势能与动能之和保持不变；

若只有电场力和重力做功：电势能、重力势能、动能之和保持不变；

物体机械能的变化：等于除重力之外，其他各力对物体做的功；

物体动能的变化：等于所有力对物体所做的功。

带电粒子在电场中运动的综合应用:

1、带电粒子在电场中的平衡问题：

带电粒子在电场中处于静止或匀速直线运动状态时，则粒子在电场中处于平衡状态。假设匀强电场的两极板间的电压为U，板间的距离为d，则：mg=qE。

2、带电粒子在电场中的加速问题：

带电粒子在电场中加速，若不计粒子的重力，则电场力对带电粒子做功等于带电粒子动能的增量。

3、带电粒子在电场中的偏转问题：

带电粒子以垂直匀强电场的场强方向进入电场后，做类平抛运动。

垂直于场强方向做匀速直线运动：V_x=V₀，L=V₀t；

4、粒子在交变电场中的往复运动

当电场强度发生变化时，由于带电粒子在电场中的受力将发生变化，从而使粒子的运动状态发生相应的变化，粒子表现出来的运动形式可能是单向变速直线运动，也可能是变速往复运动。带电粒子是做单向变速直线运动，还是做变速往复运动主要由粒子的初始状态与电场的变化规律（受力特点）的形式有关。

①若粒子（不计重力）的初速度为零，静止在两极板间，再在两极板间加上甲图的电压，粒子做单向变速直线运动；若加上乙图的电压，粒子则做往复变速运动。

②若粒子以初速度为v₀从B板射入两极板之间，并且电场力能在半个周期内使之速度减小到零，则甲图的电压能使粒子做单向变速直线运动；则乙图的电压也不能粒子做往复运动。所以这类问题要结合粒子的初始状态、电压变化的特点及规律、再运用牛顿第二定律和运动学知识综合分析。

注：是否考虑带电粒子的重力要根据具体情况而定，一般说来：

①基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等除有说明或有明确的暗示以外，一般都不考虑重力（但并不忽略质量）；

②带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力。

电场中无约束情况下的匀速圆周运动:

物体做匀速圆周运动的条件从力与运动的关系来看，物体要做匀速圆周运动，所受合外力必须始终垂直于物体运动的方向，而且大小要恒等于物体所需的向心力。冈此，物体做匀速圆周运动时必须受到变力的作用，或者不受恒力的作用，或者恒力能被平衡。

在静电力作用下的匀速圆周运动在不考虑带电粒子的重力作用时，带电粒子有两种情况可以做匀速圆周运动。

在带有异种电荷的同定点电荷周围。

在等量同种点电荷的中垂面上，运动电荷与场源电荷异性。在这种情境中，还要求运动电荷所具有的初速度要与所受到的电场力垂直，且满足合外力等于所需向心力的条件。否则运动电荷可能做直线运动、椭圆运动等。

有重力参与的匀速圆周运动重力是一恒力，带电粒子要做匀速圆周运动，重力必须被平衡，一种方式是利用水平支撑面的弹力，一种方式是利用变化的电场力的某一分力。

带电粒子所受重力的处理方法:

是否考虑重力要依据具体情况而定：

微观粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或明确的暗示外，一般不考虑重力(但不能忽略质量)。

带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或明确的暗示外，一般都不能忽略重力。

有些情况下是否考虑粒子的重力需要用假设法从粒子的运动上来分析，若考虑粒子的重力，粒子的运动与题目给定的运动状态不符合，则不需考虑重力；若不考虑粒子所受到的重力，粒子不能完成题目给定的运动过程就必须考虑重力。

在给定具体数据的情况下还可以通过定量计算来选择是否考虑重力的作用，一般说来重力与电场力相差两个甚至两个以上的数量级，粒子的重力就可以忽略。

匀强电场与重力场的复合场问题的处理方法:

动力学观点的两种方法

正交分解法：处理这种运动的基本思想与处理偏转运动是类似的，可以将此复杂的运动分解为两个互相正交的比较简单的直线运动，然后再按运动合成的观点去求出复杂运动的有关物理量。

等效“重力”法：将重力与电场力进行合成，如图所示，则等效于“重力”，等效于“重力加速度”

的方向，等效于“重力”的方向，即在重力场中竖直向下的方向。

功能观点的解决方法

从功能观点出发分析带电粒子的运动问题时，在对带电粒子受力情况和运动情况进行分析的基础上，再考虑应用恰当的规律解题。如果选用动能定理，要分清有几个力做功，做正功还是负功，是恒力做功还是变力做功，以及初、未状态的动能。

如果选用能垃守恒定律解题，要分清有多少种形式的能参与转化，哪种形式的能增加，哪种形式的能减少，并注意电场力做功与路径无关。

带电粒子在交变电场中运动问题的解决方法:

带电粒子在极板问加速或偏转时，若板间所加电压为一交变电压，则粒子在板间的运动可分两种情况处理：一是粒子在板间运动时间t远小于交变电压的周期T；二是粒子在板间运动时间t与交变电压变化周期 T相差不大甚至t>T。

第一种情况下需采用近似方法处理，可认为在粒子运动的整个过程的短暂时问内，板间电压恒等于粒子入射时的电压，即在粒子运动过程中，板间电压按恒压处理，且等于粒子入射时的瞬时电压。

第二种情况下粒子的运动过程较为复杂，可借助于粒子运动的速度图像。物理图像是表达物理过程、规律的基本工具之一，用图像反映物理过程、规律，具有直观、形象的特点，带电粒子在交变电场中运动时，受电场力作用，其加速度、速度等均做周期性变化，借助图像来描述它在电场中的运动情况，可直观展示物理过程，从而获得启迪，快捷地分析求解。在有交变电场作用下带电粒子运动的问题中，有一类重要问题是判定带电粒子能从极板间穿出的条件或侧移量、偏转角范围等问题。而解决此类问题的关键是找出粒子恰好能从板间飞出的临界状态：恰好从极板边缘飞出，并将其转换为临界状态方程。

带电粒子在接地极板间运动问题的解决方法:

当粒子在平行金属板间运动时，若一个极板接地，会对粒子的运动造成什么影响呢?这需分两种情况来考虑：

粒子运动过程巾与极板之间无接触，极板接地只是确定极板电势的高低，这种情况下极板接地与否对粒子的运动不产生影响。

一个极板接地，当运动电荷与另一极板接触而使电荷量变化，则接地的极板也就会与大地之问发生电荷的转移，从而确保两极板所带电荷量相等，但电荷量变化时，极间电场也随之发生变化。

复合场及其特点

这里所说的复合场是指电场、磁场、重力场并存，或其中某两种场并存的场。带电粒子在这些复合场中运动时，必须同时考虑电场力、洛仑兹力和重力的作用或其中某两种力的作用，因此对粒子的运动形式的分析就显得极为重要。

带电粒子在复合场电运动的基本分析

当带电粒子在复合场中所受的合外力为0时，粒子将做匀速直线运动或静止。

当带电粒子所受的合外力与运动方向在同一条直线上时，粒子将做变速直线运动。

当带电粒子所受的合外力充当向心力时，粒子将做匀速圆周运动。

当带电粒子所受的合外力的大小、方向均是不断变化的时，粒子将做变加速运动，这类问题一般只能用能量关系处理。

电场力和洛仑兹力的比较

在电场中的电荷，不管其运动与否，均受到电场力的作用；而磁场仅仅对运动着的、且速度与磁场方向不平行的电荷有洛仑兹力的作用。

电场力的大小F＝Eq，与电荷的运动的速度无关；而洛仑兹力的大小f=Bqvsinα,与电荷运动的速度大小和方向均有关。

电场力的方向与电场的方向或相同、或相反；而洛仑兹力的方向始终既和磁场垂直，又和速度方向垂直。

电场力既可以改变电荷运动的速度大小，也可以改变电荷运动的方向，而洛仑兹力只能改变电荷运动的速度方向，不能改变速度大小。

电场力可以对电荷做功，能改变电荷的动能；洛仑兹力不能对电荷做功，不能改变电荷的动能。

匀强电场中在电场力的作用下，运动电荷的偏转轨迹为抛物线；匀强磁场中在洛仑兹力的作用下，垂直于磁场方向运动的电荷的偏转轨迹为圆弧。

带电粒子在电场中运动

匀加速运动：

注意1：求解时间时，用运动学公式。

注意2：求解某一方向运动时，也可利用动能定理。

类平抛运动：

带电粒子在磁场中运动

匀速直线运动：利用平衡条件。

匀速圆周运动：

其中R、θ主要通过几何关系确定。

关于“几何关系”

注意1：确定圆心方法：利用三角函数、勾股定理等。

注意2：确定圆心角方法：利用速度的偏转角等于圆周运动的圆心角等。

圆周运动的圆心确定方法

方法1：已知轨迹上两点的速度方向

方法2：已知轨迹上的两点和其中一点的速度方向

方法3：已知轨迹上一点的速度方向和半径R

方法4：已知轨迹上的两点和半径R

带电粒子在有界磁场中运动的极值问题

刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

当速度v一定时，弧长（或弦长）越大，圆周角越大，则时间越长。

磁场边界的最小面积。

关键字解题法

恰好做匀速直线运动：F合=0

恰好做匀速圆周运动：除洛伦兹力外，其它力合力为零。

对称规律解题法

从同一边界射入的粒子，又从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等。

在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，一定沿径向射出。

在圆形磁场区域内，不沿径向射入的粒子，也满足对称性。

不计重力的带电粒子在电场中的运动

带电粒子在电场中加速

当电荷量为q、质量为m、初速度为v0的带电粒子经电压U加速后，速度变为vt，由动能定理得：

这个关系式对任意静电场都是适用的。

带电粒子在匀强电场中的偏转

不计重力的带电粒子在磁场中的运动

匀速直线运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向平行，则粒子做匀速直线运动。

匀速圆周运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向垂直，则粒子做匀速圆周运动。

带电粒子在复合场中的运动

高中阶段所涉及的复合场有四种组合形式：

①电场与磁场的复合场。

②磁场与重力场的复合场。

③电场与重力场的复合场。

④电场、磁场与重力场的复合场。

带电粒子在复合场中的运动性质取决于带电粒子所受的合外力及初速度

因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析。当带电粒子在复合场中所受的合外力为零时，带电粒子做匀速直线运动(如速度选择器)；当带电粒子所受的重力与电场力等值、反向，由洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动；当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度的方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，运动轨迹也随之不规范地变化。因此，要确定粒子的运动情况，必须明确有几种场，粒子受几种力，重力是否可以忽略。

带电粒子所受三种场力的特征

洛伦兹力的大小跟速度方向与磁场方向的夹角有关。当带电粒子的速度方向与磁场方向平行时，f洛＝0；当带电粒子的速度方向与磁场方向垂直时，f洛＝qvB。当洛伦兹力的方向垂直于速度v和磁感应强度B所决定的平面时，无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力都不做功。

电场力的大小为qE，方向与电场强度E的方向及带电粒子所带电荷的性质有关。电场力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的电荷量有关外，还与其始末位置的电势差有关。

重力的大小为mg，方向竖直向下。重力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的质量有关外，还与其始末位置的高度差有关。

带电粒子在复合场中的运动的分析方法

当带电粒子在复合场中做匀速运动时，应根据平衡条件列方程求解。

当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解。

当带电粒子在复合场中做非匀速曲线运动时，应选用动能定理或动量守恒定律列方程求解。

经典例题

两块大小、形状完全相同的金属平板平行放置，构成一平行板电容器，与它相连接的电路如图所示，接通开关K，电源即给电容器充电，则（ ）

保持K接通，减小两板间的距离，则板间场强减小

保持K接通，在两板间插入一块介质，则极板上的带电量增大

断开K，减小两板间的距离，则两板间的电势差减小

断开K，在两板间插入一块介质，则两板间的电势差减小

电容器与电源相连，两极板间的电势差不变，通电后断开，则两极板上的电量不变；

由平行板电容器电容C=，根据某些量的变化可知电容的变化，则由Q=UC可知电压或电量的变化，由E=可求得电场强度的变化．

【解析】

保持K接通，则两板间的电势差不变，因d减小，由E=可知，两极板间的电场的电场场强增大，故A错误；

保持K接通，两板间的电势差不变，在两极板间插入介质后，电容增大，由Q=UC可知，极板上的电量增大，故B正确；

断开K，两板上所带电量不变，减小距离d，电容增大，由C=可得U=，则可知U减小，故C正确；

断开K，两板上所带电量不变，插入介质后电容变大，由U=可知极板上的电势差减小，故D正确；

一质量为m的带正电小球在同时存在匀强电场和匀强磁场的空间中运动，试根据要求通过文字和图形描述小球进入复合场的速度方向和匀强电场、匀强磁场分布情况，例如：要求小球可以在复合场做匀速直线运动，文字描述：匀强磁场B水平向右，匀强电场E竖直向上，带电小球水平向右进入复合场，复合场分布图如图所示．

要求带电小球可以在复合场做匀速圆周运动

要求带电小球可以在复合场做匀变速直线运动

要求带电小球可以在复合场做类平抛运动（或平抛运动）

分析

对小球受力分析，若带电小球可以在复合场做匀速圆周运动，则电场力与重力平衡；

带电小球可以在复合场做匀变速直线运动，则小球不受洛伦兹力；

带电小球可以在复合场做类平抛运动则初始时刻洛伦兹力和重力平衡．

【解析】

电场竖直向下，磁场垂直纸面，如图：

（2）磁场方向平行于电场力和重力的合力方向：

平抛运动：B竖直向上，E垂直纸面向里，

类平抛运动：初始时刻洛伦兹力和重力平衡且磁场方向平行于电场方向．