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专题1 波的多解问题
波动图象的多解涉及：(1)波的空间的周期性；(2)波的时间的周期性；(3)波的双向性；(4)介质中两质点间距离与波长关系未定；(5)介质中质点的振动方向未定．
1.波的空间的周期性
沿波的传播方向，在x轴上任取一点P（x)，如图所示，P点的振动完全重复波源O的振动，只是时间上比O点要落后Δt，且Δt =x/v=xT0/λ.在同一波线上，凡坐标与P点坐标x之差为波长整数倍的许多质点，在同一时刻t的位移都与坐标为λ的质点的振动位移相同，其振动速度、加速度也与之相同，或者说它们的振动“相貌”完全相同．因此，在同一波线上，某一振动“相貌”势必会不断重复出现，这就是机械波的空间的周期性．
空间周期性说明，相距为波长整数倍的多个质点振动情况完全相同．
2.波的时间的周期性
在x轴上同一个给定的质点，在t+nT时刻的振动情况与它在t时刻的振动情况（位移、速度、加速度等）相同．因此，在t时刻的波形，在t+nT时刻会多次重复出现．这就是机械波的时间的周期性．
波的时间的周期性，表明波在传播过程中，经过整数倍周期时，其波的图象相同．
3.波的双向性
双向性是指波沿正负方向传播时，若正、负两方向的传播时间之和等于周期的整数倍，则沿正负两方向传播的某一时刻波形相同．
4.介质中两质点间的距离与波长关系未定
在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定，就会形成多解，解题时若不能联想到所有可能情况，易出现漏解．
5.介质中质点的振动方向未定
在波的传播过程中，质点振动方向与传播方向联系，若某一质点振动方向未确定，则波的传播方向有两种，这样形成多解．
【例1】如图实线是某时刻的波形图象，虚线是经过0.2s时的波形图象。求：
①波传播的可能距离 ②可能的周期（频率）
③可能的波速 ④若波速是35m/s，求波的传播方向
⑤若0.2s小于一个周期时，传播的距离、周期（频率）、波速。
解析：①题中没给出波的传播方向，所以有两种可能：向左传播或向右传播。
向左传播时，传播的距离为x=nλ+3λ/4=（4n+3）m （n=0、1、2 …）
向右传播时，传播的距离为x=nλ+λ/4=（4n+1）m （n=0、1、2 …）
②向左传播时，传播的时间为t=nT+3T/4得：T=4t/（4n+3）=0.8 /（4n+3）（n=0、1、2 …）
向右传播时，传播的时间为t=nT+T/4得：T=4t/（4n+1）=0.8 /（4n+1） （n=0、1、2 …）
③计算波速，有两种方法。v=x/t 或v=λ/T
向左传播时，v=x/t=（4n+3）/0.2=（20n+15）m/s. 或v=λ/T=4 （4n+3）/0.8=（20n+15）m/s.（n=0、1、2 …）
向右传播时，v=x/t=（4n+1）/0.2=（20n+5）m/s. 或v=λ/T=4 （4n+1）/0.8=（20n+5）m/s. （n=0、1、2 …）
④若波速是35m/s，则波在0.2s内传播的距离为x=vt=35×0.2m=7m=1 λ，所以波向左传播。
⑤若0.2s小于一个周期，说明波在0.2s内传播的距离小于一个波长 则：
向左传播时，传播的距离x=3λ/4=3m；传播的时间t=3T/4得：周期T=0.267s；波速v=15m/s.向右传播时，传播的距离为λ/4=1m；传播的时间t=T/4得：周期T=0.8s；波速v =5m/s.
做此类问题时，可用答案代入检验法。 |
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1．如图所示，在波的传播方向上有两个质点 和 ，它们的平衡位置相距 ，且大于一个波长，波速 ，质点 和 的振动图象分别如图所示，试求振动周期的最大值，并以质点 的平衡位置为坐标原点，画出与最大周期对应的 时的波形图。
1、解析：由于题目中没有明确波的传播方向，所以分以下两种情况进行讨论：⑴若波由质点 向质点 传播，根据题目中给出的振动图象可知，质点 的振动在时间上至少比质点 落后 ，因而 和 两质点平衡位置之间的距离至少是 ，由波的周期性，则 与 的关系应该为 ， ……
解得 ， ……故，波的周期为
， ……显然，当 时 和 均有最大值，分别为 ，
由题中的振动图象可知： 时，质点 在正的最大位移上，而质点 处在平衡位置，并且即将发生正方向的位移。再根据上面的分析讨论和题中条件，则有
所以，画出与最大周期相对应的 时的波形图如图11所示。
⑵若波由质点 向质点 传播，分析思路、方法同⑴，可得出周期和波长的最大值分别为 ， 与最大周期相对应的 时的波形图如图所示。 | |
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专题2 “波的干涉”问题解析
一、波的干涉图象及位移、速度的合成与能量问题：注意波峰与波峰、波谷与波谷相遇而叠加时，此质点的合振幅必为最大，故此位置必形成干涉加强；波峰与波谷相遇而叠加时，质点的合振幅必为最小，故此位置必形成干涉减弱；二振动的平衡位置相遇且二振动在某点处引起的速度方向相同时，则该质点的振动能量必最大，故该位置必形成干涉加强；二振动的平衡位置相遇且二振动在某点处引起的速度方向相反时，则该质点的振动能量必最小，故该位置必形成干涉减弱。
二、稳定干涉中的最强与最弱点的条件与应用问题：二振动方向相同、频率相同、初相差为 的二波源S1、S2产生的两列波某时刻在空间某点P所引起的相位差必为 ,故:
⑴当 ，即 ，其中k＝0、1、2……时，点P必为干涉最强的点；
⑵当 ，即 ，且k＝1、2、3……时，点P必为干涉最弱的点。
注：在我们常见的问题中都将二波源的振动情况当作完全相同，故二波源的初相差为 ，即得到 时P为振动最强的位置，而 时P为振动最弱的位置；因而在解答问题时我们要注意初相 。
三、同一直线上传播的波的干涉问题：注意干涉中的位移、速度的矢量合成及能量情况，且位移或速度的合为最大值的位置振动必为最强，相反必为最弱。
【例2】图中为两个相干波源发出的波相遇时某时刻的情况，图中实线表示波峰，虚线表示波谷；相干波的振幅均为5cm，波速与波长分别为 ；点C为相邻圆弧间的中央处的同心圆的交点。则：⑴此时图中标示的点中振动最强的点有________，振动最弱的点有______；⑵从该时刻起经过 个周期时位移为0的点有__________；⑶图示时刻A、B二点在振动方向上的高度差为______________ ；⑷图示时刻质点C的位置与运动状态为________________________________；⑸从图示时刻起经过 ，质点B通过的路程为________。
解析：由图1知点A、E为波峰与波峰相遇，故A、E点的合振幅必最大即为振动最强的点；点B为波谷与波谷相遇合振幅也最大，仍为振动最强的点；点D、F为波峰与波谷相遇故其合振幅为0即为振动最弱的点；对点C因为是相邻圆弧间的中央处的同心圆的交点，即为过E、F的二圆弧间（圆心在右上角的圆）的中央处的同心圆与过E、B的二圆弧间（圆心在左上角的圆）的中央处的同心圆的交点，故点C距过B点的二波谷间的距离（图1中的二粗短线段示）必均为 个波长，因而此时二振动传到点C的状态必为平衡位置，那么二振动在点C的合成如图2示，波从B向C传播故二振动在点C产生的速度方向必均向负方向且有最大速度，故点C必有向负方向的最大合速度，因而点C的振动能量为最大值，那么点C必为振动最强的点。
⑴此时振动最强的点有：A、B、E、C，其合振幅必为10cm，振动最弱的点有D、F；
⑵从该时刻起经过 个周期时点A、B、D、E、F必为平衡位置相遇而使合位移为0，而点C则为波峰与波峰相遇使其合位移为最大；
⑶图示时刻A点为二波峰相遇，故点A此时离开平衡位置的位移为10 ；此时点B为二波谷相遇，故点B离开平衡位置的位移为 ；因而A、B二点在振动方向上的高度差为20 ；
⑷由上述分析知此时点C必位于平衡位置且有向负方向的最大速度。（注：由于波的干涉中的明、暗条纹是以二波源为焦点的双曲线，故点C不是双曲线上BE直线的中点）
⑸由题中条件得出波的周期为 ，故质点B在半个周期内必将从合振动的波谷运动到波峰处，故B点经过的路程必为20 。
两相干波的叠加区域，凡波峰与波峰相遇的点或波谷与波谷相遇的点，都是振动加强的点；凡峰、谷相遇的点，都是振动减弱的点． |
2．下图在Y轴上的A、B两点放着两个相干波源，它们激起的波的波长均为2米，且A、B二质点的振动方向均与纸面垂直；二波源的纵坐标为 ；那么：⑴当二波源的振动情况完全相同时，⑵当二波源的振动方向恰好相反时，⑶当波源A垂直于纸面向上运动经过平衡位置时波源B恰位于纸面外的最远点处，则在X轴上从 的位置上会出现多少个振动最强的点？
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2、解析：从波源A、B发出的波可传播到整个X轴上的各点
⑴当二波源的振动情况完全相同时，首先考虑两波源发出的波在X轴正半轴上任一点P相遇的路程差必满足 ，由 时P为振动最强的位置有 ，故 即 ，由于 为整数故 应当取0、1、2；再利用对称性知在X轴负方向仍有 为-1、-2两个位置，因此在X轴上从 的位置上会出现5个振动最强的点。
⑵当二波源的振动方向恰好相反时则二波源振动的初相位为 ，在X轴正半轴上任一点P相遇的路程差仍满足 ，由 可得 即 ，故k应当取1、2、3，由于对称性知在X轴负方向仍有k为-1、-2、-3三个位置，故在X轴上从 的位置上会出现6个振动最强的点。
⑶当波源A垂直于纸面向上运动经过平衡位置时波源B恰位于纸面外的最远点处，则二波源振动的初相位为 ，因二波源发出的波在X轴正半轴上任一点P相遇的路程差仍满足 ，故由 可得 即 ，故k应当取1、2、3，由于对称性知在X轴负方向仍有k为-1、-2、-3三个位置，则在X轴上从 的位置上仍会出现6个振动最强的点。
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专题3 波动图象和振动图象的关系
波动图象和振动图象的形状相似，都是正弦或余弦曲线，其物理意义有本质的区别，但它们之间又有联系，因为参与波动的质点都在各自的平衡位置附近振动，质点振动的周期也等于波动的周期。
解决两种图象结合的问题的基本思路
（1）首先识别哪一个是波的图象，哪一个是振动图象，两者间的联系纽带是周期与振幅。
（2）再从振动图象中找出某一质点在波的图象中的那一时刻的振动方向，然后再确定波的传播方向及其他问题。
【例3】图甲为一列简谐横波在t=0.10s时刻的波形图，P是平衡位置为x=1 m处的质点，Q是平衡位置为x=4 m处的质点，图乙为质点Q的振动图象，则
A.t=0.15s时，质点Q的加速度达到正向最大
B.t=0.15s时，质点P的运动方向沿y轴负方向
C.从t=0.10s到t=0.25s，该波沿x轴正方向传播了6 m
D.从t=0.10s到t=0.25s，质点P通过的路程为30 cm
解析：由y-t图像知，周期T=0.2s，且在t=0.1sQ点在平衡位置沿y负方向运动，可以推断波没x负方向传播，所以C错；
从t=0.10s到t=0.15s时，Δt=0.05s=T/4，质点Q从图甲所示的位置振动T/4到达负最大位移处，又加速度方向与位移方向相反，大小与位移的大小成正比，所以此时Q的加速度达到正向最大，而P点从图甲所示位置运动T/4时正在由正最大位移处向平衡位置运动的途中，速度沿y轴负方向，所以A、B都对；
振动的质点在t=1T内，质点运动的路程为4A；t=T/2，质点运动的路程为2A；但t=T/4，质点运动的路程不一定是1A；t=3T/4，质点运动的路程也不一定是3A。本题中从t=0.10s到t=0.25s内，Δt=0.15s=3T/4，P点的起始位置既不是平衡位置，又不是最大位移处，所以在3T/4时间内的路程不是30cm
答案：AB
振动图象与波的图象的结合问题，要注意深刻理解每种图象表达的本质，注意联系与区别，防止干扰，比如振动图象中时间轴是单向的，波动图象中，波的传播方向有两种可能。
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3．如图所示，甲为某一简谐横波在t=1.0s时刻的图象，乙为参与波动的某一质点的振动图象。
（1）两图中的AA’、OC各表示什么物理量？量值各是多少？（2）说明两图中OA ’B段图线的意义？（3）该波的波速为多大？（4）画出再经过0.25s后的波动图象和振动图象。（5）甲图中P点此刻的振动方向。
3、解析：依据波动图象和振动图象的物理意义来分析判断。注意振动图象和波动图象的区别与联系。
（1）甲图中的AA’表示振幅A和x=1m处的质点在t=1.0s时对平衡位置的位移，振幅A=0.2m，位移y=-0.2m；甲图中OC表示波长，大小l=4m。乙图中AA’即是质点振动的振幅，又是t=0.25s时质点偏离平衡位置的位移，振幅A=0.2m，位移y=-0.2m;OC表示质点振动的周期，大小T=1.0s。
（2）甲图中的OA’B段图线表示O到B之间的各质点在t=1.0s时相对平衡位置的位移，OA间各质点正向着平衡位置运动，AB间各质点正在远离平衡位置运动。乙图中的OA’B段图线表示该质点在t=0~0.5s时间内振动位移随时间变化的情况，在0~0.25s内该质点正远离平衡位置运动，在0.25s~0.2s内该质点正向平衡位置运动。（3）由v=l/t可得波速v= m/s= 4m/s（4）再过0.25s，波动图象向右平移Dx=vDt=0.25´4m=1m=l/4;振动图象在原有的基础上向后延伸T/4，图象分别如图丙、丁所示
（5）已知波的传播方向（或某质点的振动方向）判定图象上该时刻各质点的振动方向（或波的传播方向），常用方法如下：根据波动过程的特点，利用靠近波源的点带动它邻近的离波源稍远的点的特性，在被判定振动方向的点P附近图象上靠近波源一方找一点P’，若在P点的上方，则P’带动P向上运动，如图所示；若P’在P点的下方，则P’带动P向下运动。 | |
第十二章机械波知能整合与专题突破-稳定干涉中的最强与最弱点的条件
